DETERMINANTES

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Determinantes

   Como já vimos, matriz quadrada é a que tem o mesmo número de linhas e de colunas (ou seja, é do tipo nxn).

   A toda matriz quadrada está associado um número ao qual damos o nome de determinante.

   Dentre as várias aplicações dos determinantes na Matemática, temos:

• resolução de alguns tipos de sistemas de equações lineares;
• cálculo da área de um triângulo situado no plano cartesiano, quando são conhecidas as coordenadas dos seus vértices;

Determinante de 1ª ordem

   Dada uma matriz quadrada de 1ª ordem M=[a₁₁], o seu determinante é o número real a₁₁:

det M =Ia₁₁I = a₁₁

Observação: Representamos o determinante de uma matriz entre duas barras verticais, que não têm o significado de módulo.

   Por exemplo:

M= [5] det M = 5 ou I 5 I = 5

M = [-3] det M = -3 ou I -3 I = -3

Determinante de 2ª ordem

   Dada a matriz , de ordem 2, por definição o determinante associado a M, determinante de 2ª ordem, é dado por:

    Portanto, o determinante de uma matriz de ordem 2 é dado pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. Veja o exemplo a seguir.

   

                        

Menor complementar

   Chamamos de menor complementar relativo a um elemento a_ij de uma matriz M, quadrada e de ordem n>1, o determinante MC_ij , de ordem n - 1, associado à matriz obtida de M quando suprimimos a linha e a coluna que passam por a_ij .

   Vejamos como determiná-lo pelos exemplos a seguir:

a) Dada a matriz , de ordem 2, para determinar o menor complementar relativo ao elemento a₁₁(MC₁₁), retiramos a linha 1 e a coluna 1:

Da mesma forma, o menor complementar relativo ao elemento a₁₂ é:

b) Sendo , de ordem 3, temos:

MATRIZES-Conceitos iniciais


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Video-aula sobre Análise Combinatória,Permutação,Combinação,Arranjo e Probabilidade

• ALGUMAS VIDEOS SOBRE PROBABILIDADE PRA VOCÊS GALERA!

Parte 1
http://www.youtube.com/watch?v=SLzIbZ-7SBM

Parte 2
http://www.youtube.com/watch?v=TL-igSGXbAQ

*AULAS DE REVISÃO PARA VESTIBULAR 
ASSUNTO PRINCIPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM(ANÁLISE COMBINATÓRIA)

http://www.youtube.com/watch?v=tHq22qnTRj0
Aula de Principio Fundamental da contagem pro ENEM


http://www.youtube.com/watch?v=iHCS1momU44
Aula Análise Combinatória Parte 3

*ARRANJO SIMPLES

A Fórmula do Arranjo Simples em combinatória, denotado por A_n,k, onde arranjamos k objetos de n objetos dados, é uma fórmula muito importante dada por:



É muito útil na solução de problemas de contagem onde a ordem é levada em consideração.
Ela pode ser pensada da seguinte forma: para arranjarmos k objetos de n objetos dados podemos primeiramente escolher k objetos de n, que pela Fórmula Binominal podemos fazer de

maneiras diferentes, e logo em seguida multiplicamos pelo número de maneiras que podemos ordenar estes k objetos escolhidos, que é de k! maneiras:

Outra forma de derivarmos essa fórmula é usarmos o princípio fundamental da contagem da Análise Combinatória, assim: podemos escolher o primeiro objeto de n formas diferentes, o segundo de (n-1) formas diferentes, e assim por diante, até o k-ésimo que podemos escolher de (n-(k-1)) formas diferentes, multiplicando tudo temos n.(n-1)…(n-(k-1))= A_n,k. Para  ver isto basta abrir a fórmula de A_n,k.

Vamos resolver um problema para podermos fixar melhor estas idéias:

Numa corrida entre 10 competidores premia-se os dois primeiros com dois chocolates idênticos. Quais são as possibilidades de premiação?

Bem, nesse caso a ordem não é importante, então basta ver de quantos modos pode-se terminar a corrida. Neste caso, basta calcular:

Que é o número de maneiras de dois dos dez competidores ganhar a corrida.

Então este é o número de maneiras de se premiar.

Suponha agora que resolvemos premiar o primeiro colocado com um sorvete e o segundo com um chocolate. Nesse caso, a ordem é importante, não basta saber quem foram os dois primeiros, é preciso saber quem foi o primeiro e quem foi o segundo. Assim, precisamos usar a fórmula do arranjo que resulta em:

maneiras de se premiar.