DETERMINANTES

http://www.youtube.com/watch?v=SUbr6zypkLA

Determinantes

   Como já vimos, matriz quadrada é a que tem o mesmo número de linhas e de colunas (ou seja, é do tipo nxn).

   A toda matriz quadrada está associado um número ao qual damos o nome de determinante.

   Dentre as várias aplicações dos determinantes na Matemática, temos:

• resolução de alguns tipos de sistemas de equações lineares;
• cálculo da área de um triângulo situado no plano cartesiano, quando são conhecidas as coordenadas dos seus vértices;

Determinante de 1ª ordem

   Dada uma matriz quadrada de 1ª ordem M=[a₁₁], o seu determinante é o número real a₁₁:

det M =Ia₁₁I = a₁₁

Observação: Representamos o determinante de uma matriz entre duas barras verticais, que não têm o significado de módulo.

   Por exemplo:

M= [5] det M = 5 ou I 5 I = 5

M = [-3] det M = -3 ou I -3 I = -3

Determinante de 2ª ordem

   Dada a matriz , de ordem 2, por definição o determinante associado a M, determinante de 2ª ordem, é dado por:

    Portanto, o determinante de uma matriz de ordem 2 é dado pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. Veja o exemplo a seguir.

   

                        

Menor complementar

   Chamamos de menor complementar relativo a um elemento a_ij de uma matriz M, quadrada e de ordem n>1, o determinante MC_ij , de ordem n - 1, associado à matriz obtida de M quando suprimimos a linha e a coluna que passam por a_ij .

   Vejamos como determiná-lo pelos exemplos a seguir:

a) Dada a matriz , de ordem 2, para determinar o menor complementar relativo ao elemento a₁₁(MC₁₁), retiramos a linha 1 e a coluna 1:

Da mesma forma, o menor complementar relativo ao elemento a₁₂ é:

b) Sendo , de ordem 3, temos:

MATRIZES-Conceitos iniciais


http://www.youtube.com/watch?v=sw18GQESKpA

Video-aula sobre Análise Combinatória,Permutação,Combinação,Arranjo e Probabilidade

• ALGUMAS VIDEOS SOBRE PROBABILIDADE PRA VOCÊS GALERA!

Parte 1
http://www.youtube.com/watch?v=SLzIbZ-7SBM

Parte 2
http://www.youtube.com/watch?v=TL-igSGXbAQ

*AULAS DE REVISÃO PARA VESTIBULAR 
ASSUNTO PRINCIPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM(ANÁLISE COMBINATÓRIA)

http://www.youtube.com/watch?v=tHq22qnTRj0
Aula de Principio Fundamental da contagem pro ENEM


http://www.youtube.com/watch?v=iHCS1momU44
Aula Análise Combinatória Parte 3

*ARRANJO SIMPLES

A Fórmula do Arranjo Simples em combinatória, denotado por A_n,k, onde arranjamos k objetos de n objetos dados, é uma fórmula muito importante dada por:



É muito útil na solução de problemas de contagem onde a ordem é levada em consideração.
Ela pode ser pensada da seguinte forma: para arranjarmos k objetos de n objetos dados podemos primeiramente escolher k objetos de n, que pela Fórmula Binominal podemos fazer de

maneiras diferentes, e logo em seguida multiplicamos pelo número de maneiras que podemos ordenar estes k objetos escolhidos, que é de k! maneiras:

Outra forma de derivarmos essa fórmula é usarmos o princípio fundamental da contagem da Análise Combinatória, assim: podemos escolher o primeiro objeto de n formas diferentes, o segundo de (n-1) formas diferentes, e assim por diante, até o k-ésimo que podemos escolher de (n-(k-1)) formas diferentes, multiplicando tudo temos n.(n-1)…(n-(k-1))= A_n,k. Para  ver isto basta abrir a fórmula de A_n,k.

Vamos resolver um problema para podermos fixar melhor estas idéias:

Numa corrida entre 10 competidores premia-se os dois primeiros com dois chocolates idênticos. Quais são as possibilidades de premiação?

Bem, nesse caso a ordem não é importante, então basta ver de quantos modos pode-se terminar a corrida. Neste caso, basta calcular:

Que é o número de maneiras de dois dos dez competidores ganhar a corrida.

Então este é o número de maneiras de se premiar.

Suponha agora que resolvemos premiar o primeiro colocado com um sorvete e o segundo com um chocolate. Nesse caso, a ordem é importante, não basta saber quem foram os dois primeiros, é preciso saber quem foi o primeiro e quem foi o segundo. Assim, precisamos usar a fórmula do arranjo que resulta em:

maneiras de se premiar.

*EXERCÍCIO DE PRINCIPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM

Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes matérias, empilhados de cima para baixo nesta exata ordem:

Português, matemática, história e geografia.

Incluindo a ordem atual, de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros nesta carteira?

Vamos pensar sobre o problema.

Na escolha do primeiro livro a ser colocado na carteira temos 4possibilidades, pois ainda não colocamos nenhum livro nela, temos então quatro livros a escolher: Português, matemática, história egeografia.

Se começarmos a pilha com o livro de português, na escolha do próximo livro a ser colocado sobre ele, temos 3 possibilidades:matemática, história e geografia.

Se escolhermos o livro de história como o segundo livro da pilha, para o terceiro livro temos 2 possibilidades apenas: matemática egeografia.

Se colocarmos na pilha o livro de geografia, para o último livro temos obviamente 1 possibilidade: matemática.

Veja pela figura ao lado que as 4 possibilidades do primeiro livro podem ser combinadas com cada uma das 3 possibilidades do segundo livro, que podem ser combinadas com cada uma das 2 possibilidades do terceiro livro, que podem finalmente ser combinadas com 1 possibilidade do quarto livro. Matematicamente o número total de possibilidades seria:

4 . 3 . 2 . 1 = 24

Neste cálculo utilizamos o princípio fundamental da contagem.

*EXERCÍCIOS DE PERMUTAÇÃO SIMPLES

1)No protocolo de uma repartição há um arquivo de mesa como o da figura

abaixo. Cada funcionário do setor gosta de arrumar estas caixas em uma ordem

diferente (por exemplo: entrada-pendências-saída, pendências-saída-entrada

etc.). De quantas maneiras é possível ordenar estas caixas?

Como temos 3 caixas - saída (S), pendências (P) e entrada (E) - vamos

escolher uma delas para ficar embaixo. Escolhida a caixa inferior, sobram 2

escolhas para a caixa que ficará no meio e a que sobrar ficará sobre as outras.

Então, usando o princípio multiplicativo temos 3! = 3 · 2 · 1 = 6 opções

Assim, as soluções são:

*Análise combinatória 

É um estudo realizado na matemática e na lógica, responsável pela análise das possibilidades e das combinações. Observe alguns exemplos de exercícios que são resolvidos utilizando análise combinatória.

Se quiser saber quantos números de quatro algarismos são formados com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 9, é preciso aplicar as propriedades da análise combinatória.

Um homem possui cinco camisas, quatro calças, três paletós e dois pares de sapatos. De quantos modos diferentes ele pode se vestir? Para saber essas combinações é necessário utilizar as propriedades da análise combinatória.

Para efetuar os cálculos desses problemas, devemos estudar algumas propriedades da análise combinatória:

- Princípio fundamental da contagem
- Fatorial
- Arranjos simples
- Permutação simples
- Combinação
- Permutação com elementos repetidos

Segue exercícios sobre Análise Combinatória...

1) Em um pequeno galinheiro há 12 aves, dentre um galo, galinhas, frangos e frangas, no entanto só existe espaço para 10 aves no poleiro. De quantas maneiras distintas elas podem ser empoleiradas, sabendo-se que o poleiro sempre ficará lotado?

Para a primeira ave a subir no poleiro tem-se 12 possibilidades, para a segunda tem-se 11, para a terceira tem-se10 e assim por diante, até a décima ave onde teremos apenas 3 possibilidades, já que apenas duas ficarão de fora. Multiplicando tudo temos:

12 . 11 . 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 = 239500800

Se não importasse a ordem das aves no poleiro, iríamos dividir 239500800 por 10! para anular a permutação das10 aves no poleiro, mas como a ordem das aves empoleiradas distingue um agrupamento do outro, não iremos realizar tal divisão, pois estamos na verdade trabalhando com arranjo simples.

Já que estamos a trabalhar com arranjo simples, você já deve ter percebido que poderíamos ter calculado A_12, 10:

Então:

Resposta: As aves podem ser empoleiradas de 239500800 formas distintas.

2) Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra CALOUROS, tal que sempre haja a presença da sequência OURO, nesta ordem, e as letras C e S nunca estejam juntas qualquer que seja a ordem?

Trocando a sequência OURO por *, de CALOUROS passamos a ter CAL*S. Agora temos cinco caracteres, logo devemos permutá-los para obter o número de anagramas:

P₅ = 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120

Dos 120 anagramas possíveis, temos alguns que possuem ou a sequência CS, ou a sequência SC. Como desconsiderá-los?

É simples, vamos contá-los.

Vamos trocar a sequência formada pelas letras C e S, em qualquer ordem, por $. Ficamos então com $AL*.

Temos então que calcular P₄, mas como C e S são 2 letras que também permutam entre si, devemos multiplicar P₄por P₂:

P₄ . P₂ = 4! . 2! = 4 . 3 . 2 . 1 . 2 . 1 = 48

Atente ao fato de que no caso da sequência CAL*S calculamos P₅, mas não a multiplicamos por nada, isto porque diferentemente do que ocorre com as letras da sequência CS, as letras da sequência OURO não sofrem permutação entre si. A sequência é sempre a mesma.

Então, dos 120 anagramas possíveis, 48 deles possuem uma das permutações da sequência CS. Vamos portanto descontá-los:

120 - 48 = 72

Logo:

Resposta:Podemos formar 72 anagramas que correspondem às condições do enunciado.

Galerinha um video bastante interessante pra tirar dúvidas!

http://www.youtube.com/watch?v=7egxgnVeGKY&feature=c4-overview-vl&list=PL-5888xShjYov4dsPauz7Wcyxp7uAGXiR

Principio Fundamental da Contagem

http://www.youtube.com/watch?v=tHq22qnTRj0

* PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM

O princípio fundamental da contagem diz que um evento que ocorre em n situações independentes e sucessivas, tendo a primeira situação ocorrendo de m1 maneiras, a segunda situação ocorrendo de m2 maneiras e assim sucessivamente até a n-ésima situação ocorrendo de mn maneiras, temos que o número total de ocorrências será dado pelo produto:
                                       m1 . m2 . ... . mn

EXEMPLO¹:     
-> Eu possuo 4 pares de sapatos e 10 pares de meias. De quantas maneiras poderei me calçar utilizando um par de meias e um de sapatos?
Pelo princípio fundamental da contagem temos que multiplicar 4, que é o número de elementos do primeiro conjunto, por 10 que corresponde ao número de elementos do segundo conjunto.
                                     10 . 4 = 40
Portanto:
Poderei me calçar de 40 maneiras diferentes.

EXEMPLO²:
-> São quantos os números ímpares com três algarismos, que não possuem dígitos repetidos e que de trás para frente também são ímpares?
Os números devem ser ímpares, temos então 5 possibilidades para o último algarismo.
A história do "de trás para frente", em outras palavras quer dizer que o primeiro algarismo também é ímpar. Como um dígito ímpar já foi utilizado na última posição, temos então apenas 4 disponíveis para a primeira posição.
Para o dígito central temos apenas 8 possibilidades, pois dois dígitos ímpares já foram utilizados.
                                         5 . 4 . 8 = 160
Assim sendo:
São 160 os números ímpares que satisfazem a todas estas condições.

 * PERMUTAÇÃO SIMPLES

Permutar é sinônimo de trocar. Intuitivamente, nos problemas de contagem, devemos associar a permutação à noção de misturar.
Se temos n elementos distintos, então o número de agrupamentos ordenados que podem obter todos esses n elementos é dado por :
                        n . (n - 1) . (n - 2) ... . 3 . 2 . 1
Esses agrupamentos ordenados (diferem pela ordem) recebem o nome de permutação simples. Indicamos por Pn o número de permutações simples de n elementos:
                        Pn = n . (n - 1) . (n - 2) ... . 3 . 2 . 1


EXEMPLO¹:Quantos são os anagramas (diferentes disposições das letras de uma palavra) da palavra ANEL?

Resolução:
  Há 4 possibilidades para a primeiras posição, 3 possibilidades para a segunda, 2 possibilidades para a terceira e 1 possibilidade para a quarta posição. Sendo assim, concluímos que o números de anagramas da palavra se equivale a P4 = 4 . 3 . 2 . 1 = 24
  O valor obtido  com Pn é também chamado de fatorial do número n, e indicado por n! (lê-se "fatorial de n ou n fatorial).  Assim, temos :
             n! = n .(n - 1) . (n - 2) . ... . 3 . 2 . 1 para n ≥ 1

EXEMPLO ¹:
 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120
 3! = 3 . 2 . 1 = 6
 8! = 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 40 320
Exemplo ²: Quantos são os anagramas da palavra AMOR?
4 . 3 . 2 . 1 = 24 anagramas