Segue exercícios sobre Análise Combinatória...

1) Em um pequeno galinheiro há 12 aves, dentre um galo, galinhas, frangos e frangas, no entanto só existe espaço para 10 aves no poleiro. De quantas maneiras distintas elas podem ser empoleiradas, sabendo-se que o poleiro sempre ficará lotado?

Para a primeira ave a subir no poleiro tem-se 12 possibilidades, para a segunda tem-se 11, para a terceira tem-se10 e assim por diante, até a décima ave onde teremos apenas 3 possibilidades, já que apenas duas ficarão de fora. Multiplicando tudo temos:

12 . 11 . 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 = 239500800

Se não importasse a ordem das aves no poleiro, iríamos dividir 239500800 por 10! para anular a permutação das10 aves no poleiro, mas como a ordem das aves empoleiradas distingue um agrupamento do outro, não iremos realizar tal divisão, pois estamos na verdade trabalhando com arranjo simples.

Já que estamos a trabalhar com arranjo simples, você já deve ter percebido que poderíamos ter calculado A_12, 10:

Então:

Resposta: As aves podem ser empoleiradas de 239500800 formas distintas.

2) Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra CALOUROS, tal que sempre haja a presença da sequência OURO, nesta ordem, e as letras C e S nunca estejam juntas qualquer que seja a ordem?

Trocando a sequência OURO por *, de CALOUROS passamos a ter CAL*S. Agora temos cinco caracteres, logo devemos permutá-los para obter o número de anagramas:

P₅ = 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120

Dos 120 anagramas possíveis, temos alguns que possuem ou a sequência CS, ou a sequência SC. Como desconsiderá-los?

É simples, vamos contá-los.

Vamos trocar a sequência formada pelas letras C e S, em qualquer ordem, por $. Ficamos então com $AL*.

Temos então que calcular P₄, mas como C e S são 2 letras que também permutam entre si, devemos multiplicar P₄por P₂:

P₄ . P₂ = 4! . 2! = 4 . 3 . 2 . 1 . 2 . 1 = 48

Atente ao fato de que no caso da sequência CAL*S calculamos P₅, mas não a multiplicamos por nada, isto porque diferentemente do que ocorre com as letras da sequência CS, as letras da sequência OURO não sofrem permutação entre si. A sequência é sempre a mesma.

Então, dos 120 anagramas possíveis, 48 deles possuem uma das permutações da sequência CS. Vamos portanto descontá-los:

120 - 48 = 72

Logo:

Resposta:Podemos formar 72 anagramas que correspondem às condições do enunciado.